Question

5．恒过定点的直线mx-ny-m=0与抛物线y²=4x交于A，B，若m，n是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的两个不同元素，则使|AB|＜8的不同取法有（　　）

• A． 30种
• B． 24种
• C． 18种
• D． 12种

Answer 1

分析 直线mx-ny-m=0恒过定点（1，0），为抛物线y²=4x的焦点，直线mx-ny-m=0与抛物线y²=4x联立，可得m²x²+（-2m²-4n²）x+m²=0，|AB|＜8时，$\frac{2{m}^{2}+4{n}^{2}}{{m}^{2}}$+1＜8，结合条件列举，即可得出结论．

解答 解：直线mx-ny-m=0恒过定点（1，0），为抛物线y²=4x的焦点，
直线mx-ny-m=0与抛物线y²=4x联立，可得m²x²+（-2m²-4n²）x+m²=0，
∴|AB|＜8时，$\frac{2{m}^{2}+4{n}^{2}}{{m}^{2}}$+1＜8，
∴n²＜$\frac{5}{4}$m²，
∴n=-3时，m=±3，n=-2时，m=±3，±2，n=-1时，m=±3，±2，±1，n=0时，m=±3，±2，±1，共18种．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．