Question

10．已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1，令b_n=a_n•a_n+1，则b_n的前n项的和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，再由等差数列的通项公式可得a_n=$\frac{1}{2n-1}$，则b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和．

解答 解：由a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，公差为2的等差数列，
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
则b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则b_n的前n项的和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算化简能力，属于中档题．