Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）．（$A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）若$f（{2α+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，且α∈（0，π），求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数解析式之间的关系即可得到结论．

解答 解：（1）由题设图象知，周期T=4（$\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}$）=4π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$．
∵点（$\frac{4π}{3}$，0）在函数图象上，
∴Asin（$\frac{1}{2}×\frac{4π}{3}$+φ）=0，即sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=0．
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
又点（$\frac{π}{3}$，2）在函数图象上，
∴Asin$\frac{π}{3}×\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$=2，即A=2．
故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
（2）若$f（{2α+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，即2sin（α+$\frac{π}{6}$$+\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
可得：2cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，即cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
α∈（0，π），
∴sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
则tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=3．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系