Question

4．函数$y={log_2}cos（x+\frac{π}{4}）$的单调减区间为（　　）

• A． $[2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}）\begin{array}{l}{\;}&{（k∈Z）}\end{array}$
• B． $[2kπ-\frac{5π}{4}，2kπ-\frac{π}{4}]\begin{array}{l}{\;}&{（k∈Z）}\end{array}$
• C． $[2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}]\begin{array}{l}{\;}&{（k∈Z）}\end{array}$
• D． $（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ-\frac{π}{4}]\begin{array}{l}{\;}&{（k∈Z）}\end{array}$

Answer 1

分析 由复合函数的单调性可知，内函数满足函数值大于0的减区间即为原函数的减区间，可得2kπ≤x+$\frac{π}{4}$＜2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范围得答案．

解答 解：令t=$cos（x+\frac{π}{4}）$，
∵外函数y=log₂t为定义域内的增函数，
∴内函数满足函数值大于0的减区间即为原函数的减区间，
则由2kπ≤x+$\frac{π}{4}$＜2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$2kπ-\frac{π}{4}≤x＜2kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z．
∴函数$y={log_2}cos（x+\frac{π}{4}）$的单调减区间为[$2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}$），k∈Z．
故选：A．

点评 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．