Question

20．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知${a_1}≠0，3{a_n}-{a_1}={S_1}{S_n}，n∈{N^*}$．
（1）求a₁，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{{n{a_n}}}{2}}\right\}$的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）${a_1}≠0，3{a_n}-{a_1}={S_1}{S_n}，n∈{N^*}$．n=1时，3a₁-${a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=2．S_n=$\frac{1}{2}（3{a}_{n}-2）$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=3a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．${a}_{n}=2×{3}^{n-1}$．
（2）由（1）可知：$\frac{n{a}_{n}}{2}$=n•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${a_1}≠0，3{a_n}-{a_1}={S_1}{S_n}，n∈{N^*}$．
∴n=1时，3a₁-${a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=2．
∴S_n=$\frac{1}{2}（3{a}_{n}-2）$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}（3{a}_{n}-2）$-$\frac{1}{2}（3{a}_{n-1}-2）$，
化为a_n=3a_n-1，
∴${a}_{n}=2×{3}^{n-1}$．
（2）由（1）可知：$\frac{n{a}_{n}}{2}$=n•3^n-1．
∴数列$\left\{{\frac{{n{a_n}}}{2}}\right\}$的前项和T_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
3T_n=3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
∴-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．