Question

11．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过点A的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，试问直线l能否过定点，说明理由．

Answer 1

分析 （1）确定圆M的圆心和半径，利用点到直线的距离公式可知$\frac{丨3+c-c丨}{\sqrt{{c}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，求得c的值，由椭圆的几何性质可知a²=b²+c²，求得a的值，求得椭圆方程；
（2）设直线AP的方程y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$+1（k≠0），分别代入椭圆方程，求得P和Q的坐标，求得直线l的方程，即可求得直线l能否过定点（0，$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）由圆的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化成标准方程：（x-3）²+（y-1）²=3，
∴圆心为（3，1），半径为$\sqrt{3}$，
由A（0，1），F（c，0），
直线AF：$\frac{x}{c}$+y=1，即x+cy-c=0，
直线AF与圆M相切，
$\frac{丨3+c-c丨}{\sqrt{{c}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得c=$\sqrt{2}$，
由a²=b²+c²=1+2=3，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，设AP的方程为：y=kx+1，
将y=kx+1代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得：x=0或x=-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴P（-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+1），
将上式的k换成-$\frac{1}{k}$，可知：（$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$），
直线l的方程为：y=$\frac{\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}-\frac{1-{3k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}{\frac{6k}{{k}^{2}+3}+\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}$（x-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$）+$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$，
整理得：y=$\frac{4{k}^{2}-1}{4k}$-$\frac{1}{2}$，
∴直线l能否过定点（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的标准方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系，韦达定理得应用，考查学生的计算能力，属于中档题．