Question

13．我们把形如$y=\frac{b}{|x|-a}\;（a＞0，b＞0）$的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是（0，1）；且“莫言圆”的面积的最小值是3π．

Answer 1

分析 根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．

解答 解：当a=b=1时，“莫言函数”为$f（x）=\frac{1}{|x|-1}$，
其图象与y轴的交点坐标为（0，-1），所以“莫言点”的坐标是（0，1）．
显然f（x）为偶函数，且当x≥0时，$f（x）=\frac{1}{x-1}$，则f（x）的大致图象如图所示．
由图知，当“莫言圆”与函数f（x）（x＞1）的图象相切时，圆面积最小．
设“莫言圆”圆心为C，在函数$f（x）=\frac{1}{x-1}（x＞1）$图象上任取一点P（x，y），
则${|{PC}|^2}={x^2}+{（\frac{1}{x-1}-1）^2}={x^2}+{（\frac{1}{x-1}）^2}-\frac{2}{x-1}+1={x^2}+{（\frac{1}{x-1}）^2}-\frac{2x}{x-1}+3={（x-\frac{1}{x-1}）^2}+3≥3$，
即$|{PC}|≥\sqrt{3}$，所以“莫言圆”半径的最小值为$\sqrt{3}$，面积的最小值是3π．
故答案为：（0，1），3π．

点评 本题给出“莫言函数”、“莫言点”、“莫言圆”的定义，求圆的最小面积．着重考查了函数的图象、圆的方程、两点的距离公式与圆面积求法等知识，属于中档题．