Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x+1$．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-2，5]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0）和f（0），代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值、最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x+1$，
∴f′（x）=x²-2x-3，
∴f（0）=1，f′（0）=-3，
∴切线方程是：y-1=-3（x-0），
即3x+y-1=0；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，5]递增，
∵f（-2）=$\frac{1}{3}$，f（-1）=$\frac{8}{3}$，f（3）=-8，f（5）=$\frac{8}{3}$
故函数在[-2，5]上的最小值是-8，最大值是$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的几何意义，是一道中档题．