Question

已知函数f（x）=|x-a|+a²•x，其中a为常数，若函数f（x）存在最小值的充要条件是a∈A．
（1）集合A=

 

；
（2）若当a∈A时，函数f（x）的最小值为

1

8

，则a=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用分段函数的性质，结合函数最小值的定义即可得到结论；
（2）根据（1）的结论，解方程即可．

解答： 解：（1）若x≥a时，f（x）=（a²+1）x-a，此时函数单调递增，．
若x＜a时，f（x）=（a²-1）x+a，
如果函数f（x）存在最小值，
则f（x）在（-∞，a）上是减函数或常数．
得a²-1≤0，即-1≤a≤1，
故f（x）存在最小值的充要条件是-1≤a≤1，即[-1，1]，那么a范围是[-1，1]．
（2）由（1）知f（x）_min=f（a）=a³，
若函数f（x）的最小值为

1

8

，
则a³=

1

8

，解得a=

1

2

．
故答案为：（1）[-1，1]，（2）

1

2

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解不等式，分类讨论的思想，注意根据函数的形式判断出函数中参数的取值范围．难度较高．