Question

8．已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（2）若在[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数h（x）=f（x）-g（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，求导后，分类讨论不同区间上导函数值的符号，可得函数h（x）的单调区间；
（2）若在[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，即函数h（x₀）＜0成立，结合（1）中结论，分类讨论可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x-alnx，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，
∴h′（x）=1-$\frac{a+1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，则x=a，或x=1，
①当a≤0时，令h′（x）＜0得：x∈（0，1），令h′（x）＞0得：x∈（1，+∞），
此时函数h（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），
②当0＜a＜1时，令h′（x）＜0得：x∈（a，1），令h′（x）＞0得：x∈（0，a）∪（1，+∞），
此时函数h（x）的单调递减区间为（a，1），单调递增区间为（0，a）和（1，+∞），
③当a=1时，h′（x）≥0恒成立；
此时函数h（x）的单调递增区间为（0，+∞），
④当a＞1时，令h′（x）＜0得：x∈（1，a），令h′（x）＞0得：x∈（0，1）∪（a，+∞），
此时函数h（x）的单调递减区间为（1，a），单调递增区间为（0，1）和（a，+∞），
（2）若在[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，即函数h（x₀）＜0成立，
①当a≤1时，函数h（x）在[1，e]上单调递增，此时h（x）≥h（1）=1-a，
由1-a＜0得：a＞1，
故此时不存在满足条件的a值；
②当a＞1时，h（1）=1-a＜0，满足条件；
综上可得：a＞1

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，存在性问题，分类讨论思想，难度中档．