Question

已知函数f（x）=-

3

sinx+3cosx．若x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0，则|x₁+x₂|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为=-2

3

sin（x-

π

3

），由题意可得|x₁+x₂|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍，求出函数f（x）的绝对值最小的零点，即可求得结果．

解答： 解：∵f（x）=-

3

sinx+3cosx=2

3

sin（

π

3

-x）=-2

3

sin（x-

π

3

），x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0，
∴x₁+x₂ 等于函数的零点的2倍，
∴|x₁+x₂|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍．
∴令-2

3

sin（x-

π

3

）=0 可得sin（x-

π

3

）=0，x-

π

3

=kπ，k∈z．故函数f（x）的绝对值最小的零点为

π

3

，故|x₁+x₂|的最小值为

2π

3

，
故答案为：

2π

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求函数的零点，体现了转化的数学思想，属于中档题．