Question

5．若函数f（x）=e^x（x²-2x+a）-x恒有两个零点，则a的取值范围是（-$∞，1+\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得出x²-2x+a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，做出两函数的图象，根据图象判断两函数最值的大小关系，得出a的范围．

解答 解：令f（x）=0，得x²-2x+a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
作出y=x²-2x+a和g（x）的函数图象，如图所示：

∵f（x）有两个零点，∴y=x²-2x+a和g（x）的函数图象有两个交点，
∴a-1＜$\frac{1}{e}$，解得a＜$1+\frac{1}{e}$，
∴a的取值范围是：（-$∞，1+\frac{1}{e}$）．
故答案为：（-$∞，1+\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数最值的计算，属于中档题．