Question

17．在直角坐标系中，定义P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若点A（-2，4），M（x，y）为直线x-y+8=0上的动点
（Ⅰ）解关于x的不等式d（A，M）≤4；
（Ⅱ）求d（A，M）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据新定义建立关系，利用绝对值不等式的性质，去绝对值求解即可；
（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质，求解d（A，M）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
∴d（A，M）≤4；即d（A，M）=|x+2|+|y-4|≤4，
∵M（x，y）为直线x-y+8=0上的动点，
∴x+8=y．
∴d（A，M）=|x+2|+|x+4|≤4
去掉绝对值：$\left\{\begin{array}{l}{x≤-4}\\{-2x-6≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-4＜x＜-2}\\{-x-2+x+4≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{2x+6≤4}\end{array}\right.$
解得：-5≤x≤-4或-4＜x＜-2或-2≤x≤-1，
∴不等式的解集为{x|-5≤x≤-1}； 
（Ⅱ）d（A，M）的最小值．即d（A，M）=|x+2|+|y+4|≥|（x+2）-（x+4）|=2
当且仅当（x+2）（x+4）≤0，即-4≤x≤-2时取等号．
故当-4≤x≤-2时，d（A，M）的最小值为2．

点评 本题考查了新定义的运用和绝对值不等式的解法．属于中档题．