Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求证：平面AB₁C∥平面A₁C₁D
（2）求二面角B₁-AC-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得四边形AB₁C₁D是平行四边形，由此得到AB₁∥面A₁C₁D，同理B₁C∥面A₁C₁D，从而能证明平面AB₁C∥平面A₁C₁D．
（2）取AC的中点O，连结OB，OB₁，由已知条件推导出∠B₁OB为二面角B₁-AC-B的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-B的正切值．

解答： （1）证明：在正方形ABCD与正方形BCC₁B₁中，
AD

∥

.

BC，BC

∥

.

B₁C₁，
∴AD

∥

.

B₁C₁，∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，
∴AB₁∥C₁D，又C₁D?平面A₁C₁D，AB₁不包含于平面A₁C₁D，
∴AB₁∥面A₁C₁D，同理B₁C∥面A₁C₁D，
又AB₁∩B₁C=B₁，AB₁与B₁C都在平面AB₁C内，
∴平面AB₁C∥平面A₁C₁D．
（2）解：取AC的中点O，连结OB，OB₁，
由正方体的性质知△ABC与△AB₁C为等腰三角形，
∴OB⊥AC，OB₁⊥AC，
且AC为面ACB与面ACB₁的交线，
∴∠B₁OB为二面角B₁-AC-B的平面角，
令棱长为1，解得OB=

2

2

，BB₁=1，
∴tan∠B₁OB=

2

．
∴二面角B₁-AC-B的正切值为

2

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．