题目内容
已知a，b，c都是正数，求证：
（1）aabbcc≥a
b
c
；
（2）
≥
．
（1）aabbcc≥a
| b+c |
| 2 |
| a+c |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
（2）
| a+b |
| 2 |
| a+b | abba |
考点：不等式的证明
专题：推理和证明
分析：（1）利用综合法，可得
=(
)
•(
)
•(
)
，利用指数函数y=(
)x的单调性质可得(
)
≥1，(
)
≥1，(
)
≥1，从而可证结论成立；
（2）利用基本不等式
≥
，再利用分析法证明即可．
| aabbcc | ||||||
a
|
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| c |
| a-c |
| 2 |
| b |
| c |
| b-c |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| c |
| a-c |
| 2 |
| b |
| c |
| b-c |
| 2 |
（2）利用基本不等式
| a+b |
| 2 |
| ab |
解答：
证明：（1）∵a，b，c都是正数，
∴
=(
)
•(
)
•(
)
，
∵a，b，c都是正数，当a≥b时，
≥1，
≥0，由由指数函数y=(
)x的单调递增性质可得(
)
≥1，
当0＜a＜b时，0＜
＜1，
＜0，由指数函数y=(
)x的单调递减性质可得(
)
≥1，
综上所述，(
)
≥1；同理可知，(
)
≥1，(
)
≥1；
∴(
)
•(
)
•(
)
≥1，即aabbcc≥a
b
c
；
（2）依题意，
≥
，
要证
≥
，只需证明?
≥
，即证(ab)
≥abba．
∵
=a
-b•b
-a=(
)
≥1，
∴(ab)
≥abba成立，
∴原不等式成立．
∴
| aabbcc | ||||||
a
|
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| c |
| a-c |
| 2 |
| b |
| c |
| b-c |
| 2 |
∵a，b，c都是正数，当a≥b时，
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
当0＜a＜b时，0＜
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
综上所述，(
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| c |
| a-c |
| 2 |
| b |
| c |
| b-c |
| 2 |
∴(
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a |
| c |
| a-c |
| 2 |
| b |
| c |
| b-c |
| 2 |
| b+c |
| 2 |
| a+c |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
（2）依题意，
| a+b |
| 2 |
| ab |
要证
| a+b |
| 2 |
| a+b | abba |
| ab |
| a+b | abba |
| a+b |
| 2 |
∵
(ab)
| ||
| abba |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
∴(ab)
| a+b |
| 2 |
∴原不等式成立．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法与分析法的应用，突出考查等价转化思想与指数函数的单调性质，考查推理论证能力，属于难题．
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