Question

设函数f（x）=x²+ln（x+1）．
（1）求证：当x∈（0，+∞）时f（x）＞x恒成立；
（2）求证：

1

22

+

2

32

+…+

2013

20142

＜ln2015；
（3）求证：

n

i=1

(sin

i-1

n

+

n

i+n

)＜n（1-cos1+ln2）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,数列的求和

专题：导数的综合应用

分析：（1）构造函数g（x）=x-f（x）=x-x²-ln（x+1），利用导数求出函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）≤g（x）的最大值；
（2）由（1）知不等式x-x²＜ln（x+1）成立，令x=

1

n

（n∈N*），即可证明不等式；
（3）y=sinx在[0，1]上单调递增，结合定积分的定义，证明不等式．

解答： 解：（1）设g（x）=x-f（x）=x-x²-ln（x+1）．
则g′(x)=1-2x-

1

x+1

=

-2x2-x

x+1

当x＞0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上递减，
∴g（x）＜g（0）=0，即x＜f（x）恒成立．
（2）由（1）知，x＞0时，x-x²＜ln（x+1）
令x=

1

n

（n∈N*），得

1

n

-

1

n2

＜ln(1+

1

n

)，∴

2014

n=1

(

1

n

-

1

n2

)＜

2014

n=1

ln

n+1

n

，
即

1

22

+

2

32

+…+

2013

20142

＜ln2015．
（3）∵y=sinx在[0，1]上单调递增，
∴

n

i=1

sin

i-1

n

=n[

1

n

(sin

0

n

+sin

1

n

+…+sin

n-1

n

)]＜n

∫

1 0

sinxdx=n(-cosx)|

1 0

=n(1-cos1)，
又y=

1

1+x

在[0，1]上单调递减，
∴

n

i=1

n

i+n

=

1

1+ 1 n

+

1

1+ 2 n

+…+

1

1+ n n

=n[

1

n

(

1

1+ 1 n

+

1

1+ 2 n

+…+

1

1+ n n

)]＜n

∫

1 0

1

1+x

dx=

nln(1+x)|

1 0

=nln2
∴

n

i=1

(sin

i-1

n

+

n

i+n

)＜n(1-cos1+ln2)．

点评：本题是一道导数的综合题，考查了利用函数的单调性证明不等式，等价转化思想，定积的定义，属于难题．