Question

已知数列{a_n}为等比数列，前n项和为S_n，求证：S_n²+S_2n²=S_n（S_2n+S_3n）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据等比数列性质，有S_2n=S_n+qⁿS_n=S_n（1+qⁿ），S_3n=S_n+qⁿS_n+q²ⁿS_n．由此能证明S_n²+S_2n²=S_n（S_2n+S_3n）．

解答： 证明：根据等比数列性质，有
S_2n=S_n+qⁿS_n=S_n（1+qⁿ），
S_3n=S_n+qⁿS_n+q²ⁿS_n．
∴S_n²+S_2n²=S_n²+[S_n（1+qⁿ）²
=S_n²（2+2qⁿ+q²ⁿ）．
S_n（S_2n+S_3n）=S_n²（2+2qⁿ+q²ⁿ）．
∴S_n²+S_2n²=S_n（S_2n+S_3n）．

点评：本题考查关于等比数列的前n项和的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．