题目内容
已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）当弦AB长度最短时，求l的方程及弦AB的长度；
（2）求M的轨迹方程．
（1）当弦AB长度最短时，求l的方程及弦AB的长度；
（2）求M的轨迹方程．
考点：直线和圆的方程的应用
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）当弦AB长度最短时，AB⊥MC，即可求l的方程及弦AB的长度；
（2）由题设知
•
=0，即可求M的轨迹方程．
（2）由题设知
| CM |
| MP |
解答：
解：（1）圆C的方程可化为x2+（y-4）2=16，所以圆心为C（0，4），半径为4．
当AB⊥MC时弦AB最短，此时AB=2
=4
，l的方程x-2y+2=0；
（2）设M（x，y），则
=（x，y-4），
=（2-x，2-y），
由题设知
•
=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）2+（y-3）2=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．
当AB⊥MC时弦AB最短，此时AB=2
| R2-CP2 |
| 2 |
（2）设M（x，y），则
| CM |
| MP |
由题设知
| CM |
| MP |
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）2+（y-3）2=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
练习册系列答案
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函数y=x-lnx的单调增区间为（ ）
| A、（0，1） |
| B、（-∞，0） |
| C、（1，+∞） |
| D、（-∞，0）∪（1，+∞） |