Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2A₁B₁=2AD=2DD₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）求A₁B与面A₁ADD₁成角的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）  由D₁D⊥平面ABCD，可证 D₁D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理得 BD²，勾股定理可得 AD⊥BD，由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD₁A₁，再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA₁；
（Ⅱ）BD⊥面ADD₁A₁，∴∠BA₁D即A₁B与面A₁ADD₁成的角，在Rt△BA₁D中计算；
（Ⅲ）连接AC和A₁C₁，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC₁A₁为平行四边形，可得CC₁∥A₁E，再由线面平行的判定定理可证CC₁∥平面A₁BD．

解答： 证明：（Ⅰ）∵D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥BD．
又AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，
△ABD 中，由余弦定理得
BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD₁=D，∴BD⊥面ADD₁A₁．
由 AA₁?面ADD₁A₁，
∴BD⊥AA₁．                             
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BD⊥面ADD₁A₁，
∴∠BA₁D即A₁B与面A₁ADD₁成的角，设AB=2，A₁B₁=AD=DD₁=1，
由棱台的定义，A₁D₁=

1

2

，D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥面A₁B₁C₁D₁，Rt△DD₁A₁，A₁D=

5

2

，
在Rt△ABD中，BD=

3

，在Rt△BA₁D中，A₁B=

17

2

，
∴cos∠BA₁D=

A1D

A1B

=

85

17

；
（Ⅲ）证明：连接AC 和A₁C₁，设 AC∩BD=E，
由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁ A₁ 为平行四边形，
∴CC₁∥A₁ E，而A₁ E?平面A₁BD，∴CC₁∥平面A₁BD．

点评：本题考查余弦定理、勾股定理、线面角的计算、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．