Question

已知（

x

+

2

x2

）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是10：1，求展开式中：
（1）含x^-1的项；
（2）系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）先求得展开式的通项公式，由第5项的系数与第3项的系数之比是10：1求得n=8；再令x的幂指数等于-1，求得 r的值，可得x^-1的项．
（2）由于第r+1项的系数为

C

r 8

•2^r，r=0，1，2，3，…，8，可得当r=5，或r=6时，该项的系数最大．

解答： 解：（1）（

x

+

2

x2

）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•2^r•x

n-5r

2

．
由第5项的系数与第3项的系数之比是10：1可得（

C

4 n

•2⁴）：（ 

C

2 n

•2²）=10：1，
化简可得 （n-2）（n-3）=30，求得n=8．
令

8-5r

2

=-1，求得 r=2，可得x^-1的项为 T₃=

C

2 8

•4•x^-1=

112

x

．
（2）由于第r+1项的系数为

C

r 8

•2^r，r=0，1，2，3，…，8，
故当r=5，或r=6时，该项的系数最大．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．