Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=1-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

log 1 3 an

，c_n=

bnbn+1

n+1 + n

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a1=

1

3

．当n≥2时，2S_n=1-a_n，2S_n-1=1-a_n-1，两式相减，能推导出an=

1

3n

(n∈N*)．
（Ⅱ）由bn=

1

log 1 3 an

=

1

log 1 3 ( 1 3 )n

=

1

n

．得cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，由2S₁=1-a₁得：a1=

1

3

． 
当n≥2时，2S_n=1-a_n①；2S_n-1=1-a_n-1②，
上面两式相减，得：an=

1

3

an-1．
所以数列{a_n}是以首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列． 
∴an=

1

3n

(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）bn=

1

log 1 3 an

=

1

log 1 3 ( 1 3 )n

=

1

n

．
cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

． …（10分）
∴T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．