Question

设O，A，B，C是平面中的四个点，

OC

=m

OA

+n

OB

，证明：若m+n=1，则A，B，C三点共线，反之亦然．

Answer 1

考点：向量的共线定理,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得，

AB

∥

AC

，即

AB

=λ

AC

，化简可得1-m=-λm，-n=λ（1-n ），解出m和n的值，可得所求．
（2）由O，A，B，C是平面中的四个点，

OC

=m

OA

+n

OB

，m+n=1，得出

OC

-

OA

=n（

OB

-

OA

），即证

AC

=n

AB

，即

AB

∥

AC

，

解答： 解：（1）∵A，B，C三点共线，
∴

AB

∥

AC

，即

AB

=λ

AC

，化简可得1-m=-λm，-n=λ（1-n ），
∴m=

1

1-λ

，n=

λ

λ-1

=

-λ

1-λ

，m+n=1成立．
（2）∵O，A，B，C是平面中的四个点，

OC

=m

OA

+n

OB

，m+n=1，
∴m=1-n，

OC

=（1-n）

OA

+n

OB

，
∴A，B，C三点共线．

点评：本题考查了平面向量的概念，共线向量的概念，判断，属于中档题．