Question

已知f（x）=x²-px+q，其中p＞0，q＞0．
（Ⅰ）当p＞q时，证明

f(q)

p

＜

f(p)

q

；
（Ⅱ）若f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围；
（Ⅲ）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n=f（n），n∈N^*，求a_n，并判断{a_n}是否为等差数列？

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质,等差数列的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当p＞q时，分别化简

f(p)

q

、

f(q)

p

，再把它们作差判断符号，即可证得结论．
（Ⅱ）由题意可得

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

，求得

p-q≥1 2p-q≤4

，画出点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域，由线性规划知识求得p+q的范围．
（Ⅲ）根据数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）与第n项a_n的关系，求出数列的前两项以及a_n+1-a_n的值，判断数列{a_n}是否为等差数列．

解答： 解：（Ⅰ）∵

f(q)

p

=

q2-pq+q

p

=

q2+q

p

-q，

f(p)

q

=

p2-p2+q

q

=1，
∴

f(q)

p

-

f(p)

q

=

q2+q

p

-q-1=

(q+1)(q-p)

p

．
∵p＞q＞0，∴

(q+1)(q-p)

p

＜0，即

f(q)

p

-

f(p)

q

＜0，∴

f(q)

p

＜

f(p)

q

．
（Ⅱ）∵抛物线的图象开口向上，且f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，
∴

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

⇒

q＞0 1-p+q≤0 4-2p+q≥0

⇒

p-q≥1 2p-q≤4.

，∴点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域如图所示，
设z=p+q，由线性规划知识可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．

（Ⅲ）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n=f（n）=n²-pn+q，n∈N^*，
当n=1时，a₁=s₁=1-p+q=1，∴p=q．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-pn+q）-[（n-1）²-p（n-1）+q]=2n-p-1．
∴a_n=

1 ， n=1 2n-(p+1) ，n≥2

．
再根据 a₁=1，a₂=3-p，a_n+1-a_n=2 （n≥2），p＞0，q＞0，
可得{a_n}不是等差数列．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等产数列的定义和性质，体现了数形结合、分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．