Question

7．求下列各曲线的标准方程
（1）长轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$，焦点在x轴上的椭圆；
（2）过点A$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{3}）$和 B$（\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1）$的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）题目明确了要求椭圆的焦点在x轴上，可以设其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞＞0），结合题意可得长轴长2a为12，则a=6，再由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程可得答案；
（2）根据题意，设设要求椭圆的标准方程为：mx²+ny²=1，（m、n＞0），结合题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，将其代入椭圆的方程可得答案．

解答 解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在x轴上，可以设其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞＞0），
又由题意，其长轴长为12，即2a=12，则a=6，
其离心率为$\frac{2}{3}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，则c=4，
故b²=a²-c²=20，
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
（2）根据题意，设要求椭圆的标准方程为：mx²+ny²=1，（m、n＞0）
椭圆过点A$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{3}）$和 B$（\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$，
解可得m=1，n=$\frac{1}{9}$，
故要求椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，可以依据题意，设出椭圆的标准方程，然后用待定系数法进行求解．