Question

18．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，若函数f（x）=ax²-2x在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a）
（1）求N（a）的表达式；
（2）求M（a）的表达式并说出其最值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出函数的最小值即N（a）的表达式即可；
（2）求出函数f（x）的最大值即M（a）的表达式，从而求出M（a）的最值即可．

解答 解：（1）f（x）=a（${（x-\frac{1}{a}）}^{2}$-$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
因为x在[1，3]范围内，所以当x=$\frac{1}{a}$时，函数f（x）取得最小值，
即N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$；
（2）当1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，
则x=3时，函数f（x）取得最大值；
∴M（a）=f（3）=9a-6，
当2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，
则x=1时，函数f（x）取得最大值；
∴M（a）=f（1）=a-2，
综上，得M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2，\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}}\\{9a-6，\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，
故M（a）的最小值为-$\frac{5}{3}$；最大值为3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．