Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，通过通项公式与数列和的关系，推出数列的等比数列，求出数列的首项即可推出通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n≥2）即a_n=2a_n-1（n≥2）
从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，又因为a₁，a₂+1，a₃成等差数列即a₁+a₃=2（a₂+1）
所以a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2
所以，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n=2ⁿ．
（2）${b_n}=n•{2^{n+1}}$，T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，…①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，…②
①-②可得：-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²．
${T_n}={2^{n+2}}（n-1）+4$

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，错位相减法求和的应用，考查计算能力．