Question

15．f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最值及相应的x值；
（3）求f（x）的单调增区间；
（4）其图象沿x轴经过怎样的平移可以得到关于y轴对称的图象？
（5）若m≤f（x）≤求n，求m，n的取值范围；
（6）若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），求f（x₁），f（x₂），|x₁-x₂|的最小值．

Answer 1

分析 先化简f（x）=-sin（2x-$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的图象与性质进行解答．

解答 解：f（x）=-sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+2kπ$即x=$\frac{5π}{12}+kπ$时，f（x）取得最小值为-1，
2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$即x=-$\frac{π}{12}+kπ$时，f（x）取得最大值为1．
（3）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{5π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{11π}{12}+kπ$，
∴f（x）的单调增区间是[$\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{11π}{12}+kπ$]，k∈Z．
（4）设f（x）与g（x）的图象关于y轴对称，
则g（x）=f（-x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-sin（2x+$\frac{π}{3}$+π）=-sin[2（x+$\frac{5π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]．
∴将f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{5π}{6}$个单位即可得到关于y轴对称的图象．
（5）∵f（x）的最大值是1，最小值是-1，
∴m≤-1，n≥1．
（6）∵f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）=f_min（x）=-1，f（x₂）=f_max（x）=1．
|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．