Question

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F₂，M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）是双曲线C上的点，N（-x₀，-y₀），连接MF₂并延长MF₂交双曲线C于点P，连接NF₂，PN，若△NF₂P是以∠NF₂P为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 可设双曲线的左焦点为F₁，并连接MF₁，MF₂，根据双曲线的对称性及条件便知四边形F₁NF₂M为矩形，可设MF₂=x，并连接PF₁，这样根据双曲线的定义及平行四边形对边相等即可得出MF₁=2a+x，MP=2a+2x，PF₁=4a+x，这样根据直角三角形的边的关系即可得到（2a+x）²+x²=4c² ①；：（2a+x）²+（2a+2x）²=（4a+x）² ②；这样可以由②解出x，带入①中便可得到a，b，c的关系，根据c²=a²+b²即可得出$\frac{b}{a}$的值，从而便得出渐近线方程．

解答 解：如图，设F₁为双曲线左焦点，连接MF₁，NF₁，则：
由对称性可知四边形F₁NF₂M
为平行四边形；
又△NF₂P是以∠NF₂P为顶角的等腰直角三角形，
可得∠MF₂N=90°；
∴F₁NF₂M为矩形；
设|MF₂|=x，由双曲线的定义可得，
|MF₁|=2a+x；
∴|PF₂|=|NF₂|=|MF₁|=2a+x；
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a+x；
在Rt△MF₁F₂中有：
（2a+x）²+x²=4c² ①；
在Rt△MF₁P中有：（2a+x）²+（2a+2x）²=（4a+x）² ②；
由②解得，x=a，代回①得：9a²+a²=4c²；
∴c²=$\frac{5}{2}$a²；
∴b²=c²-a²=$\frac{3}{2}$a²；
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
∴渐近线方程为：y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

点评 本题考查双曲线的对称性，双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及双曲线的定义，直角三角形的勾股定理，双曲线的渐近线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．