Question

13．已知定义在R上的函数f（x）=2^|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log₂$\frac{1}{3}$），b=f（log₂5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． ＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． c＜a＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（-x）=f（x），则有2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，解可得m的值，即可得f（x）=2^|x|-1，由此计算可得a、b、c的值，比较可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=2^|x-m|-1为偶函数，
即f（-x）=f（x），则有2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，
解可得：m=0，
即f（x）=2^|x|-1，
所以$a=f（{{{log}_2}\frac{1}{3}}）={2^{|{{{log}_2}\frac{1}{3}}|}}-1={2^{{{log}_2}3}}-1=3-1=2$，
$b=f（{{{log}_2}5}）={2^{{{log}_2}5}}-1=4，c=f（{2m}）=f（0）={2^0}-1=0$，
所以c＜a＜b，
故选C．

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，涉及对数的计算，关键是利用函数的奇偶性的性质求出m的值．