Question

已知f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠b），f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中方程f（x）=x有两个相等实根，可得b=1，由f（2）=0，可得a=-

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，代入可得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，分析当x∈[1，2]时，函数的单调性，进而可求出函数的最值，进而得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）方程f（x）=x，即ax²+bx=x，亦即ax²+（b-1）x=0，
由方程有两个相等实根，得△=（b-1）²-4a×0=0，
∴b=1，①
由f（2）=0，得4a+2b=0，②
由①、②得，a=-

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，b=1，
故f（x）=-

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x²+x．
（2）∵f（x）=-

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x²+x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线
故当x∈[1，2]时，函数f（x）为减函数，
故当x=1时，函数取最大值

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，
当x=2时，函数取最小值0，
故当x∈[1，2]时，f（x）的值域为[0，

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]．

点评：本题考查的知识点二次函数的图象和性质，方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题．