Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+coswx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，a+$\sqrt{3}$sinwx） （w为常数且w＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在R上的最大值为3，且函数y=f（x）的任意两相邻的对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标系中画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量数量积的运算可得：f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1，利用最大值为3，可得a，利用周期公式可求ω，即可得解函数的解析式．
（2）根据五点法，求出对应的五点，即可得到结论．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1+cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，a+$\sqrt{3}$sinωx） （w为常数且w＞0），
∴由已知可得：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+cosωx+a+$\sqrt{3}$sinωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∵函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1在R上的最大值为3，可得：2+a+1=3，
∴解得：a=0，
∵函数y=f（x）的任意两相邻的对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数y=f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}×2$，解得：ω=2，
∴函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
列表：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1	2	3	1	-1	1	2

描点得图象：

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了计算能力，是基础题．