Question

1．设函数f（x）=ax³-bx²，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+1，则当$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$时，f（x）的取值范围是（　　）

• A． $[0，\frac{4}{27}]$
• B． $[0，\frac{3}{8}]$
• C． [-$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{27}$]
• D． $[-\frac{9}{8}，\frac{3}{8}]$

Answer 1

分析 由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义和切线方程列出方程，联立后求出a、b的值，求出f（x）、f′（x），由导数的符号求出函数的单调区间、极值，结合端点处的函数值求出函数的值域．

解答 解：由题意得，f′（x）=3ax²-2bx，
∵在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+1，
∴f′（1）=3a-2b=-1，且f（1）=a-b=0，解得a=b=-1，
∴f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x²+2x=x（-3x+2），
由f′（x）=0得，x=0或x=$\frac{2}{3}$，
∴当x∈（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）时，f′（x）＜0，则f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）上是减函数，
当x∈（0，$\frac{2}{3}$）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上是增函数，
∴函数的极小值是f（0）=0，极大值是f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
∵f（$-\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{8}$，f（$\frac{3}{2}$）=$-\frac{9}{8}$，
∴函数的最大值是$\frac{3}{8}$，最小值是$-\frac{9}{8}$，即值域是$[-\frac{9}{8}，\frac{3}{8}]$，
故选D．

点评 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题．