Question

7．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{e}$为单位向量，当$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{e}$的夹角为$\frac{2π}{3}$时，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$在$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$上的投影为$\frac{5\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 利用数量积运算、投影的意义即可得出．

解答 解：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{e}$|²=16-1=15，
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{e}$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{e}$|•cos$\frac{2π}{3}$=16+1-2×4×1×（-$\frac{1}{2}$）=21，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|=$\sqrt{21}$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$在$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$上的投影为$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e}）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}|}$=$\frac{15}{\sqrt{21}}$=$\frac{5\sqrt{21}}{7}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{21}}{7}$

点评 本题考查了数量积运算、投影的意义，属于基础题．