Question

19．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间（0，1）内单调递增，且f（x）在R上有三个零点，1是其中一个零点．
（1）求f（3）的取值范围；
（2）若直线l：y=x-1在曲线C：x=f（x）的上方部分所对应的x的集合（-∞，1），试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将b的值代入f（x）中，将x=1代入得到a，c的关系，求出导函数的两个根即函数的两个极值点，利用函数的单调性，判断出极值点与单调区间的关系，列出不等式求出f（3）的范围即可；
（2）问题转化为（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集是（-∞，1），根据x的范围得出矛盾，得到a的值不存在．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0
∴b=0．
∴f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x₂=$\frac{2a}{3}$，
又∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x₂=$\frac{2a}{3}$＞1，即a＞$\frac{3}{2}$，
∴f（3）=8a-26＞-14；
（2）由直线l：y=x-1在曲线C：y=f（x）的上方的部分对应的x的集合为（-∞，1），
得x-1＞-x³+ax²+1-a，即（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集是（-∞，1），
∵x＜1时，x-1＜0，
而x＜1时，x²+（1-a）x+2-a必存在正值，
故（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集不可能是（-∞，1），
故a无解．

点评 本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．