Question

16．已知函数f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线l垂直于直线y=x，求实数a的值及直线l的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若x＞1，求证：lnx＜x-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出a的值，从而求出函数的切点，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）由a=1时，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上单调递减，得到f（x）＜f（1），从而证明结论．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+1（a∈R），定义域为（0，+∞），
∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，
∴函数f（x）的图象在x=1处的切线l的斜率k=f′（1）=1-a，
∵切线l垂直于直线y=x，
∴1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=lnx-2x+1，f（1）=-1，
∴切点为（1，-1），
∴切线l的方程为y+1=-（x-1），
即x+y=0．
（2）由（1）知：${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，x＞0
当a≤0时，${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}=\frac{{-a（x-\frac{1}{a}）}}{x}$
若$0＜x＜\frac{1}{a}$，则f′（x）＞0；若$x＞\frac{1}{a}$，则f′（x）＜0，
此时，f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{1}{a}）$，单调递减区间是 $（\frac{1}{a}，+∞）$，
综上所述：
当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{1}{a}）$，单调递减区间是 $（\frac{1}{a}，+∞）$．
（3）由（2）知：当a=1时，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上单调递减，
∴x＞1时，f（x）＜f（1）=ln1-1+1=0，
∴x＞1时，lnx-x+1＜0，即lnx＜x-1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．