Question

已知偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，给出下列判断：
（1）f（5）=0；
（2）f（x）在[1，2]上是减函数；
（3）函数y=f（x）没有最小值；
（4）函数f（x）在x=0处取得最大值；
（5）f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），得到函数的周期为4．f（x+2）=-f（x），

解答： 解：
（1）由f（1-x）+f（1+x）=0
得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），
设t=x-1．x=t+1，∴f（t+2）=-f（t），f（t+4）=f（t）
所以f（4+x）=f（x），所以函数的周期是4．
当x=0时，f（1）+f（1）=0，
所以f（1）=0，
因为f（5）=f（4+1）=f（1）=0，所以①正确．


（2）因为y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）=-f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．
（3）函数有最小值，也有最大值，且是相反数，故③错，
（4）∵偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，f（x+2）=-f（x），
∴函数f（x）在x=0处取得最大值；
（5）因为y=f（x）是偶函数，所以f（2+x）=-f（x），f（1）=0所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误
因为偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，则在[0，1]上单调递减，且周期为4，所以y=f（x）在x=0处取得最大值，在x=-1时取得f（-1）=0．所以④正确，⑤错误．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性的综合应用，要求熟练掌握相应的性质．