Question

下列四种说法：
①垂直于同一平面的所有向量一定共面；
②等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则公比为

1

2

；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则

2

a

+

3

b

的最小值为5+2

6

；
④在△ABC中，已知

a

cosA

=

b

cosB

=

c

cosC

，则∠A=60°．
正确的序号有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,等差数列与等比数列,解三角形,不等式的解法及应用

分析：运用线面垂直的性质定理，及平行向量共面，即可判断①；
运用等差数列的通项公式和等比数列的性质，即可求得公比，进而判断②；
运用1的代换，化简整理运用基本不等式即可求得最小值，即可判断③；
运用正弦定理和同角的商数关系，结合内角的范围，即可判断④．

解答： 解：对于①垂直于同一平面的所有向量一定平行，而平行向量共面，则①正确；
对于②等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则有a₃²=a₁a₄，即有（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d），
解得a₁=-4d或d=0，则公比为

a3

a1

=1或

1

2

，则②错误；
对于③，由于a＞0，b＞0，a+b=1，则

2

a

+

3

b

=（a+b）（

2

a

+

3

b

）=5+

2b

a

+

3a

b

≥5+2

2b a • 3a b

=5+2

6

，
当且仅当

2

b=

3

a，取得最小值，且为5+2

6

，则③正确；
对于④，在△ABC中，

a

cosA

=

b

cosB

=

c

cosC

即为

sinA

cosA

=

sinB

cosB

=

sinC

cosC

，即tanA=tanB=tanC，
由于A，B，C为三角形的内角，则有A=B=C=60°，则④正确．
综上可得，正确的命题有①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题和易错题．