Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=

π

6

．
（1）求φ的值及f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（α）=

4

5

，α∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2α的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的对称轴即可求φ的值及f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）根据f（α）=

4

5

，α∈[

π

4

，

π

2

]，利用两角和差的余弦公式即可求cos2α的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=

π

6

．
故f(

π

6

)=±1⇒φ=

π

6

+kπ，k∈Z
又0＜φ＜π，故φ=

π

6

．                         …（3分）
所以，f(x)=sin(2x+

π

6

)．x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
即f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-

1

2

． …（7分）
（2）由已知得sin(2α+

π

6

)=

3

5

，α∈[

π

4

，

π

2

]⇒2α+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
所以cos(2α+

π

6

)=-

1-sin2(2α+ π 6 )

=-

4

5

，
cos2α=cos[(2α+

π

6

)-

π

6

]=cos(2α+

π

6

)cos

π

6

+sin(2α+

π

6

)sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数值的计算，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．