Question

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFGH材料切割成三棱锥HACF．

（1）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；
（2）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？

Answer 1

考点：程序框图,直线与平面平行的判定

专题：应用题,空间位置关系与距离,算法和程序框图

分析：（1）由已知及直线与平面平行的判定先证明MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，可证平面MNK∥平面ACF，由面面平行的性质即可证明MG∥平面ACF．
（2）由程序框图可知a=CF，b=AC，c=AF，依次可求d，e，又h=

3t

e

，可得t=

1

3

he=V_{三棱锥HACF}．由三棱锥HACF为将长方体ABCDEFGH切掉4个体积相等的小三棱锥所得，即可求t的值．

解答： 解：（1）证明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．
∵MK?平面ACF，AF?平面ACF，
∴MK∥平面ACF，
同理可证MN∥平面ACF，
∵MN，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，又MG?平面MNK，故MG∥平面ACF．
（2）由程序框图可知a=CF，b=AC，c=AF，
∴d=

b2+c2-a2

2bc

=

AC2+AF2-CF2

2AC•AF

=cos∠CAF，
∴e=

1

2

bc

1-d2

=

1

2

AC•AF•sin∠CAF=S_△ACF．
又h=

3t

e

，∴t=

1

3

he=

1

3

h•S_△ACF=V_{三棱锥HACF}．
∵三棱锥HACF为将长方体ABCDEFGH切掉4个体积相等的小三棱锥所得，
∴V_{三棱锥HACF}=2×3×1-4×

1

3

×

1

2

×3×2×1=6-4=2，
故t=2．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，面面平行的性质，程序框图和算法的应用，综合性较强，属于中档题．