Question

如图，在正三棱台ABC-A₁B₁C₁中，已知其上、下底面边长分别为3cm和6cm，AA₁=3cm，求此三棱台的侧面积和体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：

分析：利用正棱台的结构特征求得OA，OD，O₁A₁，O₁D₁的长，再结合图形，利用勾股定理求得棱台的高，从而求得DD₁，把数据代入棱台的侧面积与体积公式计算可得答案．

解答： 解：由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为3cm和6cm的等边三角形，如图O、O₁为上、下底面的中心，
∴OA=

2

3

AD=

2

3

×6×

3

2

=2

3

，OD=

3

；
O₁A₁=

2

3

A₁D₁=

2

3

×3×

3

2

=

3

，O₁D₁=

3

2

∴棱台的高h=

32-(2 3 - 3 )2

=

6

，
DD₁=

h2+(OD-O1D1)2

=

3 3

2

，
∴三棱台的侧面积S=3×

3+6

2

×

3 3

2

=

81 3

4

；
三棱台的体积V=

1

3

×（

3

4

×3²+

3

4

×6²+

3

4

×3×6）×

6

=

63 2

4

．

点评：本题考查了棱台的侧面积公式与体积公式，利用平面几何知识求相关几何量是解答此类问题的关键，对棱台的体积公式与侧面积公式要熟练掌握，计算要细心．