Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），椭圆上的点P满足∠PF₁F₂=90°，且△PF₁F₂的面积为S_△PF1F2═

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过椭圆的截距以及三角形的面积求出a，b，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）求出A、B坐标通过（1）当直线l与x轴垂直时，求出AN的方程，BM的方程，然后求出直线AN与直线x=4的交点，判断交点R在直线BM上；（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），R（4，y₀）利用直线与椭圆方程联立结合韦达定理，利用分析法证明A，N，R共线，即点R总在直线BM上即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：|F1F2|=2c=2

3

，…（1分）
∵椭圆上的点P满足∠PF₁F₂=90°，且S△PF1F2=

3

2

，
∴S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|PF1|=

1

2

×2

3

×|PF1|=

3

2

．
∴|PF1|=

1

2

，|PF2|=

|F1F2|2+|PF1|2

=

7

2

．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2…（2分）
又∵c=

3

，∴b=

a2-c2

=1…（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意知A（-2，0）、B（2，0），
（1）当直线l与x轴垂直时，M(1，

3

2

)、N(1，-

3

2

)，
则AN的方程是：y=-

3

6

(x+2)，
BM的方程是：y=-

3

2

(x-2)，
直线AN与直线x=4的交点为R(4，-

3

)，
∴点R在直线BM上．…（6分）
（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），R（4，y₀）
由

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0
∴x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

…（7分）

AR

=(6，y0)，

AN

=(x2+2，y2)，
A，N，R共线，
∴y0=

6y2

x2+2

…（8分）
又

BR

=(2，y0)，

BM

=(x1-2，y1)，
需证明B，M，R共线，
需证明2y₁-y₀（x₁-2）=0，只需证明2k(x1-1)-

6k(x2-1)

x2+2

(x1-2)=0
若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x₁-1）（x₂+2）-3（x₂-1）（x₁-2）=0
∵（x₁-1）（x₂+2）-3（x₂-1）（x₁-2）=-2x₁x₂+5（x₁+x₂）-8
=

-2(4k2-4)

1+4k2

+

5×8k2

1+4k2

-8=0成立，…（11分）
∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）

点评：本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线方程以及韦达定理的应用．难度比较大，解题需要一定的运算能力以及分析问题解决问题的能力．