Question

从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：
（1）第n次操作后溶液的浓度是多少？
（2）若a=2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%？

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设开始的浓度为1，操作n次后的浓度为a_n，可得数列{a_n}构成a₁=1-

1

a

为首项，q=1-

1

a

为公比的等比数列，得通项公式即可得结论；
（2）当a=2时，解不等式a_n=（

1

2

）ⁿ＜

1

10

可得．

解答： 解：（1）设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a₁=1-

1

a

，
操作n次后的浓度为a_n，则a_n+1=a_n（1-

1

a

），
∴数列{a_n}构成a₁=1-

1

a

为首项，q=1-

1

a

为公比的等比数列，
∴a_n=（1-

1

a

）ⁿ，即第n次操作后溶液的浓度为（1-

1

a

）ⁿ；
（2）当a=2时，可得a_n=（1-

1

a

）ⁿ=（

1

2

）ⁿ，
由a_n=（

1

2

）ⁿ＜

1

10

，解得n＞4
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%

点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及指数不等式的解集，属基础题．