Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于M？说明理由．
（2）证明函数f（x）=sinπx∈M．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证，即可知函数f（x）=x不属于集合M；
（2）若函数f（x）=sinπx∈M，依据定义应该有sin（πx+πT）=Tsinπx成立，对任意实数都成立，将T=-1代入即可得到证明．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x，
∴对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而对任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不满足上述性质，
∴f（x）=x∉M；
（2）令T=-1，则sin（πx-π）=-sin（π-πx）=-sinπx．
∴sin（πx+πT）=Tsinπx成立，
∴函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（πx+πT）=Tsinπx．
∴函数f（x）=sinπx∈M．

点评：考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．