Question

设函数f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 2 +(x-2)，x∈[2，+∞)

，则函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由F（x）=0得f（x）=

1

x

，然后分别作出函数f（x）与y=

1

x

的图象，利用数形结合即可得到函数零点的个数．

解答： 解：F(x)=f(x)-

1

x

的）=0得f（x）=

1

x

，然后分别作出函数f（x）与y=g（x）=

1

x

的图象如图：
∵当x≥2时，f（x）=

1

2

f（x-2），
∴f（1）=1，g（1）=1，
f（1）=1，g（1）=1，
f（3）=

1

2

f（1）=

1

2

，g（3）=

1

3

，
f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

，g（5）=

1

5

，
f（7）=

1

2

f（5）=

1

8

，g（7）=

1

7

，
∴当x＞7时，f（x）＜

1

x

，
由图象可知两个图象的交点个数为6个．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．本题难度较大，综合性较强．