Question

对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x₀，使得x₀f（x₀）=1成立，则称函数f（x）具有性质P．
（1）下列函数中具有性质P的有

 

．
①f（x）=-2x+2

2

；
②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）；
③f（x）=x+

1

x

，（x∈（0，+∞））；
④f（x）=ln（x+1）．
（2）若函数f（x）=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：（1）在 x≠0时f（x）=

1

x

有解即函数具有性质P，逐一判断三个函数是否满足此条件，可得答案；
（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a≠0，方程 xlnx=

1

a

有根，因为g（x）=xlnx的值域为[-

1

e

，+∞），所以

1

a

≥-

1

e

，进而得到答案．

解答： 解：（1）在 x≠0时，f（x）=

1

x

有解，即函数具有性质P，
①令-2x+2

2

=

1

x

，即-2x2+2

2

x-1=0，
∵△=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f（x）=-2x+2

2

具有性质P；
②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象与y=

1

x

有交点，
故sinx=

1

x

有解，故f（x）=sinx（x∈[0，2π]）具有性质P；
③令x+

1

x

=

1

x

，此方程无解，
故f（x）=x+

1

x

，（x∈（0，+∞））不具有性质P；
④f（x）=ln（x+1）的图象与y=

1

x

有交点，
故ln（x+1）=

1

x

有解，故f（x）=ln（x+1）具有性质P；
综上所述，具有性质P的函数有：①②④，
（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a≠0，方程 xlnx=

1

a

有根，
∵g（x）=xlnx的值域为[-

1

e

，+∞），
∴

1

a

≥-

1

e

，
解之可得：a＞0或 a≤-e．
故答案为：①②④；（2）a＞0或a≤-e

点评：本题考查的知识点是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．