Question

已知直线l：y=2x-6，抛物线y²=ax，当抛物线的焦点在l上时，若△ABC的顶点都在此抛物线上，且点A的纵坐标为8，三角形的重心恰好为焦点，求直线BC的斜率．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出抛物线的方程，设出B，C的坐标，根据三角形的重心是焦点，可得B，C的坐标之间的关系，又点在抛物线上，有点差法可得斜率．

解答： 解：由题意可得，直线l：y=2x-6与x轴的交点（3，0）就是抛物线的焦点，
所以

a

4

=3，
∴a=12，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由于三角形的重心恰好为焦点，
∴

y1+y2+8=0

3

，
∴y₁+y₂=-8，
又B，C在抛物线上，
∴y12=12x1，y22=12x2，
∴y22-y12=12(x2-x1)，
∴

y2-y1

x2-x1

=

12

y1+y2

=

12

-8

=-

3

2

．
∴直线BC的斜率是-

3

2

．

点评：本题主要考察抛物线的性质，三角形的重心，点差法求斜率的方法．