Question

已知函数f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1，a∈R，a≠0．
（1）若对任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（2）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角不等式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）函数f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

．对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）利用（1）的讨论及其存在的意义进行等价转化，解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1=sin²x+asinx+a-

3

a

=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

．
①当-

a

2

≥1，a≤-2时，当sinx=-1时，f（x）取得最大值，∴1-a+a-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，应该舍去．
②当-

a

2

≤-1，即a≥2时，当sinx=1时，f（x）取得最大值，∴1+a+a-

3

a

≤0，解得-

3

2

≤a≤1，应该舍去．
③当-1＜-

a

2

＜1且a≠0，即-2＜a＜2，且a≠0时，由上面可知：

0＜a≤3 - 3 2 ≤a≤1

，解得0＜a≤1．
（2）a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，
由上面的②可知：当sinx=-1时，f（x）取得最小值，
∴1-a+a-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，又a≥2，
∴2≤a≤3．

点评：本题考查了二次函数的单调性、正弦函数的单调性与有界性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．