Question

△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量

m

=（2，-1），

n

=（sinBsinC，

3

+2cosBcosC），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小．
（2）现给出以下三个条件：①B=45°；②2sinC-（

3

+1）sinB=0；③a=2．试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，化为cosA=

3

2

，即可得出．
（2）选择①，③．或选择②，③．利用正弦定理与余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．选择①，②不能确定三角形．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinBsinC-2cosBcosC-

3

=0，
∴cos（B+C）=-

3

2

，
∴cosA=

3

2

，
又0°＜A＜180°，
∴A=30°．
（2）选择①，③．
∵A═30°，B=45°，C=105°，a=2且sin105°=sin（45°+60°）=

6 + 2

4

，
c=

asinC

sinA

=

6

+

2

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

+1．
选②，③．∵A=30°，a=2，
∴2sinC=（

3

+1）sinB⇒2c=（

3

+1）b，
由余弦定理：a²=4=b²+（

3 +1

2

b）²-2b×

3 +1

2

b×

3

2

⇒b²=8 b=2

2

．
c=

3 +1

2

b=

6

+

2

，
∴S_△ABC=

3

+1．
选①，②不能确定三角形．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、两角和差的正弦余弦公式、正弦定理与余弦定理、诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．