Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，sinx-2cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设0≤x≤

π

2

，①若

a

⊥

b

，求x；②求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）①由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，利用0≤x≤

π

2

，即可解出．
②f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，由0≤x≤

π

2

，可得-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

．利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cosx（sinx-2cosx）
=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-（1+cos2x）
=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
由2kπ-

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，可得f（x）单调增区间为(kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

)，k∈Z，
由2kπ+

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z，单调减区间为(kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

)，k∈Z．
（2）①∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=

2

sin(2x-

π

4

)-1=0，
即sin(2x-

π

4

)=

2

2

．
∵0≤x≤

π

2

，
∴x=

π

4

或x=

π

2

．
②f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

．
当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）取得最小值-2，
当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f（x）取得最大值

2

-1，
∴f（x）的值域为[-2，

2

-1]．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．