Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=-l，a_n+1=2a_n+（3n-1）•3ⁿ⁺¹，（n∈N^*），则其通项a_n=31•2ⁿ+（3n-10）•3ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2a_n+（3n-1）•3ⁿ⁺¹（n∈N^*）变形、构成新数列{b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}，从而利用累加法可求出当n≥2时b_n-b₁的表达式，通过错位相减法计算可得b_n的表达式，进而可得结论．

解答 解：因为a_n+1=2a_n+（3n-1）•3ⁿ⁺¹，（n∈N^*），
所以$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+（3n-1）•$（{\frac{3}{2}）}^{n+1}$，
记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，则b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
b_n+1-b_n=（3n-1）•$（{\frac{3}{2}）}^{n+1}$，
b_n-b_n-1=[3（n-1）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n}$，
b_n-1-b_n-2=[3（n-2）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
…
b₂-b₁=（3•1-1）•$（\frac{3}{2}）^{2}$，
累加得当n≥2时，b_n-b₁=[3（n-1）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n}$+[3（n-2）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+…+（3•1-1）•$（\frac{3}{2}）^{2}$，
$\frac{3}{2}$（b_n-b₁）=[3（n-1）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$+[3（n-2）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n}$+[3（n-3）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+…+（3•1-1）•$（\frac{3}{2}）^{3}$，
两式相减，得：$-\frac{1}{2}$（b_n-b₁）=-[3（n-1）-1]•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$+3•[$（\frac{3}{2}）^{n}$+$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+…+$（\frac{3}{2}）^{3}$]+2•$（\frac{3}{2}）^{2}$
=$\frac{9}{2}$+3•$\frac{（\frac{3}{2}）^{3}[1-（{\frac{3}{2}）}^{n-2}]}{1-\frac{3}{2}}$-（3n-4）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$
=$\frac{9}{2}$-6[$（\frac{3}{2}）^{3}$-$（\frac{3}{2}）^{n+1}$]-（3n-4）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$
=-$\frac{63}{4}$-（3n-10）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$，
所以b_n-b₁=$\frac{63}{2}$+（6n-20）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$，
所以b_n=b₁+$\frac{63}{2}$+（6n-20）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$=31+（6n-20）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$（n≥2），
又因为b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$满足上式，
所以b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=31+（6n-20）•$（\frac{3}{2}）^{n+1}$，
所以a_n=31•2ⁿ+（3n-10）•3ⁿ⁺¹，
故答案为：31•2ⁿ+（3n-10）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查考查错位相减法，考查累加法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．